Zgjidh {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Gjej a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a_{1} duke veçuar a_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4a_{1}+6d=3$$

Zbrit 6d nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Zëvendëso a_{1} me -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} në ekuacionin tjetër, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Shumëzo 3 herë -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Mblidh -\frac{9d}{2} me 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Zbrit \frac{9}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{33}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$d=\frac{7}{66}$$

Zëvendëso d me \frac{7}{66} në a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a_{1} menjëherë.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë \frac{7}{66} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Mblidh \frac{3}{4} me -\frac{7}{44} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a_{1} dhe d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Për ta bërë 4a_{1} të barabartë me 3a_{1}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Thjeshto.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Zbrit 12a_{1}+84d=16 nga 12a_{1}+18d=9 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Mblidh 12a_{1} me -12a_{1}. Shprehjet 12a_{1} dhe -12a_{1} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18d-84d=9-16$$

Mblidh 18d me -84d.

$$-66d=9-16$$

Mblidh 9 me -16.

$$-66d=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

Zëvendëso d me \frac{7}{66} në 3a_{1}+21d=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a_{1} menjëherë.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Shumëzo 21 herë \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Zbrit \frac{49}{22} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$