Zgjidh {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

Gjej A, D

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3A-9D=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$8A-8D=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej A duke veçuar A në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3A-9D=4$$

Mblidh 9D në të dyja anët e ekuacionit.

$$3A=9D+4$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

Zëvendëso A me 3D+\frac{4}{3} në ekuacionin tjetër, 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

Shumëzo 8 herë 3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

Mblidh 24D me -8D.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

Zbrit \frac{32}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Zëvendëso D me -\frac{13}{24} në A=3D+\frac{4}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

Shumëzo 3 herë -\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

Mblidh \frac{4}{3} me -\frac{13}{8} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$A=-\frac{7}{24}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3A-9D=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$8A-8D=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës A dhe D.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3A-9D=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$8A-8D=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Për ta bërë 3A të barabartë me 8A, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

Thjeshto.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

Zbrit 24A-24D=6 nga 24A-72D=32 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

Mblidh 24A me -24A. Shprehjet 24A dhe -24A thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-72D+24D=32-6$$

Mblidh -72D me 24D.

$$-48D=32-6$$

Mblidh 32 me -6.

$$-48D=26$$

Pjesëto të dyja anët me -48.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Zëvendëso D me -\frac{13}{24} në 8A-8D=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

Shumëzo -8 herë -\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

Zbrit \frac{13}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$A=-\frac{7}{24}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$