Zgjidh {l}{342=23m+b}{147=10m+b}

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

Gjej m, b

$$m=15$$

$$b=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$23m+b=342$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$10m+b=147$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej m duke veçuar m në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$23m+b=342$$

Zbrit b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$23m=-b+342$$

Pjesëto të dyja anët me 23.

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

Shumëzo \frac{1}{23} herë -b+342.

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

Zëvendëso m me \frac{-b+342}{23} në ekuacionin tjetër, 10m+b=147.

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

Shumëzo 10 herë \frac{-b+342}{23}.

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

Mblidh -\frac{10b}{23} me b.

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

Zbrit \frac{3420}{23} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{13}{23}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=-3$$

Zëvendëso b me -3 në m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

Shumëzo -\frac{1}{23} herë -3.

$$m=\frac{3+342}{23}$$

Mblidh \frac{342}{23} me \frac{3}{23} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$m=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=15,b=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$23m+b=342$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$10m+b=147$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës m dhe b.

$$m=15,b=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$23m+b=342$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$10m+b=147$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

Zbrit 10m+b=147 nga 23m+b=342 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$23m-10m+b-b=342-147$$

Mblidh b me -b. Shprehjet b dhe -b thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$23m-10m=342-147$$

Mblidh 23m me -10m.

$$13m=342-147$$

Mblidh 342 me -147.

$$13m=195$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$m=15$$

Zëvendëso m me 15 në 10m+b=147. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$10\times 15+b=147$$

Shumëzo 10 herë 15.

$$150+b=147$$

Zbrit 150 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$b=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=15,b=-3$$