Zgjidh {l}{30f_{1}+40f_{2}=285}{30f_{1}+30f_{2}=+270}

$$\left. \begin{array} { l } { 30 f _ { 1 } + 40 f _ { 2 } = 285 } \\ { 30 f _ { 1 } + 30 f _ { 2 } = + 270 } \end{array} \right.$$

Gjej f_1, f_2

$$f_{1} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$f_{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej f_{1} duke veçuar f_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$30f_{1}+40f_{2}=285$$

Zbrit 40f_{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$30f_{1}=-40f_{2}+285$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$f_{1}=\frac{1}{30}\left(-40f_{2}+285\right)$$

Shumëzo \frac{1}{30} herë -40f_{2}+285.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}$$

Zëvendëso f_{1} me -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2} në ekuacionin tjetër, 30f_{1}+30f_{2}=270.

$$30\left(-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}\right)+30f_{2}=270$$

Shumëzo 30 herë -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2}.

$$-40f_{2}+285+30f_{2}=270$$

Mblidh -40f_{2} me 30f_{2}.

$$-10f_{2}+285=270$$

Zbrit 285 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-10f_{2}=-15$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

Zëvendëso f_{2} me \frac{3}{2} në f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh f_{1} menjëherë.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{19}{2}$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë \frac{3}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$f_{1}=-2+\frac{19}{2}$$

Mblidh \frac{19}{2} me -2.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 30}\\-\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&\frac{30}{30\times 30-40\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{15}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 285+\frac{2}{15}\times 270\\\frac{1}{10}\times 285-\frac{1}{10}\times 270\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës f_{1} dhe f_{2}.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

Zbrit 30f_{1}+30f_{2}=270 nga 30f_{1}+40f_{2}=285 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$30f_{1}-30f_{1}+40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

Mblidh 30f_{1} me -30f_{1}. Shprehjet 30f_{1} dhe -30f_{1} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

Mblidh 40f_{2} me -30f_{2}.

$$10f_{2}=285-270$$

Mblidh 285 me -270.

$$10f_{2}=15$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

Zëvendëso f_{2} me \frac{3}{2} në 30f_{1}+30f_{2}=270. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh f_{1} menjëherë.

$$30f_{1}+30\times \frac{3}{2}=270$$

Shumëzo 30 herë \frac{3}{2}.

$$30f_{1}+45=270$$

Zbrit 45 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$30f_{1}=225$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$