Zgjidh {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$3y-6-x=0$$

Shto 6 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3y-x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-9-2y=0$$

Shto 9 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-2y=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3y-x=6$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=x+6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3}+2 në ekuacionin tjetër, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

Shumëzo -2 herë \frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

Mblidh -\frac{2x}{3} me x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{3}x=13$$

Shumëzo të dyja anët me 3.

$$x=39$$

Zëvendëso x me 39 në y=\frac{1}{3}x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 39.

$$y=13+2$$

Mblidh 2 me 13.

$$y=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=15,x=39$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$3y-6-x=0$$

Shto 6 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3y-x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-9-2y=0$$

Shto 9 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-2y=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=15,x=39$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$3y-6-x=0$$

Shto 6 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3y-x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-9-2y=0$$

Shto 9 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-2y=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Për ta bërë 3y të barabartë me -2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Thjeshto.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

Zbrit -6y+3x=27 nga -6y+2x=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

Mblidh -6y me 6y. Shprehjet -6y dhe 6y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-3x=-12-27$$

Mblidh 2x me -3x.

$$-x=-12-27$$

Mblidh -12 me -27.

$$-x=-39$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=39$$

Zëvendëso x me 39 në -2y+x=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2y+39=9$$

Zbrit 39 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=-30$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=15,x=39$$