Zgjidh {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3y-6x=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$2x+y=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3y-6x=-3$$

Mblidh 6x në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=6x-3$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 6x-3.

$$y=2x-1$$

Zëvendëso y me 2x-1 në ekuacionin tjetër, y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

Mblidh 2x me 2x.

$$4x-1=7$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=2x-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\times 2-1$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$y=4-1$$

Mblidh -1 me 4.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3y-6x=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$2x+y=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=3,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3y-6x=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto y në të dyja anët.

$$2x+y=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Për ta bërë 3y të barabartë me y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

Thjeshto.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

Zbrit 3y+6x=21 nga 3y-6x=-3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

Mblidh 3y me -3y. Shprehjet 3y dhe -3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6x-6x=-3-21$$

Mblidh -6x me -6x.

$$-12x=-3-21$$

Mblidh -3 me -21.

$$-12x=-24$$

Pjesëto të dyja anët me -12.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y+2x=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\times 2=7$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$y+4=7$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=2$$