Zgjidh {l}{3x-y=1}{y=1-x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 } \\ { y = 1 - x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-y=1,x+y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-y=1$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë y+1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{1+y}{3} në ekuacionin tjetër, x+y=1.

$$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+y=1$$

Mblidh \frac{y}{3} me y.

$$\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}=1$$

Zbrit \frac{1}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{4}{3}y=\frac{2}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{4}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{1}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{2} në x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë \frac{1}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

Mblidh \frac{1}{3} me \frac{1}{6} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-y=1,x+y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1+1}{4}\\\frac{-1+3}{4}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-y=1,x+y=1$$

Për ta bërë 3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3x-y=1,3x+3y=3$$

Zbrit 3x+3y=3 nga 3x-y=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-y-3y=1-3$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y-3y=1-3$$

Mblidh -y me -3y.

$$-4y=1-3$$

Mblidh 1 me -3.

$$-4y=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{2} në x+y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+\frac{1}{2}=1$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$