Zgjidh {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-9-y=0$$

Shto 9 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x-y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$9y+3-x=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$9y-x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-y=9$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=y+9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Zëvendëso x me \frac{y}{3}+3 në ekuacionin tjetër, -x+9y=-3.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

Shumëzo -1 herë \frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

Mblidh -\frac{y}{3} me 9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{26}{3}y=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{26}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=\frac{1}{3}y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-9-y=0$$

Shto 9 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x-y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$9y+3-x=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$9y-x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-9-y=0$$

Shto 9 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x-y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$9y+3-x=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$9y-x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

Thjeshto.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

Zbrit -3x+27y=-9 nga -3x+y=-9 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-27y=-9+9$$

Mblidh y me -27y.

$$-26y=-9+9$$

Mblidh -9 me 9.

$$-26y=0$$

Pjesëto të dyja anët me -26.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në -x+9y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=0$$