Zgjidh {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto y në të dyja anët.

$$3x-13+y=0$$

Shto 13 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x+y=13$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+y=13$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-y+13$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+13}{3} në ekuacionin tjetër, 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

Shumëzo 2 herë \frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

Mblidh -\frac{2y}{3} me 9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

Zbrit \frac{26}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{25}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë -2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Mblidh \frac{13}{3} me \frac{2}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto y në të dyja anët.

$$3x-13+y=0$$

Shto 13 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x+y=13$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto y në të dyja anët.

$$3x-13+y=0$$

Shto 13 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x+y=13$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Thjeshto.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

Zbrit 6x+27y=-24 nga 6x+2y=26 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y-27y=26+24$$

Mblidh 2y me -27y.

$$-25y=26+24$$

Mblidh 26 me 24.

$$-25y=50$$

Pjesëto të dyja anët me -25.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në 2x+9y=-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

Shumëzo 9 herë -2.

$$2x-18=-8$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-2$$