Zgjidh {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+4y=253$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-4y+253$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-4y+253}{3} në ekuacionin tjetër, -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

Shumëzo -5 herë \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Mblidh \frac{20y}{3} me y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Mblidh \frac{1265}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{23}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=55$$

Zëvendëso y me 55 në x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Mblidh \frac{253}{3} me -\frac{220}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=11$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=11,y=55$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=11,y=55$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Thjeshto.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

Zbrit -15x+3y=0 nga -15x-20y=-1265 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Mblidh -15x me 15x. Shprehjet -15x dhe 15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-20y-3y=-1265$$

Mblidh -20y me -3y.

$$-23y=-1265$$

Pjesëto të dyja anët me -23.

$$y=55$$

Zëvendëso y me 55 në -5x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-5x+55=0$$

Zbrit 55 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-55$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=11$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=11,y=55$$