Gjej x, y
x=7
y=-5
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
3x+4y=1,2x+3y=-1
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
3x+4y=1
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
3x=-4y+1
Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)
Pjesëto të dyja anët me 3.
x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}
Shumëzo \frac{1}{3} herë -4y+1.
2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1
Zëvendëso x me \frac{-4y+1}{3} në ekuacionin tjetër, 2x+3y=-1.
-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1
Shumëzo 2 herë \frac{-4y+1}{3}.
\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1
Mblidh -\frac{8y}{3} me 3y.
\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}
Zbrit \frac{2}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.
y=-5
Shumëzo të dyja anët me 3.
x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}
Zëvendëso y me -5 në x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=\frac{20+1}{3}
Shumëzo -\frac{4}{3} herë -5.
x=7
Mblidh \frac{1}{3} me \frac{20}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=7,y=-5
Sistemi është zgjidhur tani.
3x+4y=1,2x+3y=-1
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=7,y=-5
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
3x+4y=1,2x+3y=-1
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)
Për ta bërë 3x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.
6x+8y=2,6x+9y=-3
Thjeshto.
6x-6x+8y-9y=2+3
Zbrit 6x+9y=-3 nga 6x+8y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
8y-9y=2+3
Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
-y=2+3
Mblidh 8y me -9y.
-y=5
Mblidh 2 me 3.
y=-5
Pjesëto të dyja anët me -1.
2x+3\left(-5\right)=-1
Zëvendëso y me -5 në 2x+3y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
2x-15=-1
Shumëzo 3 herë -5.
2x=14
Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.
x=7
Pjesëto të dyja anët me 2.
x=7,y=-5
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}