Zgjidh {l}{3x+4=y}{9x-5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 9 x - 5 = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x+4-y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-y=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$9x-5-y=0$$

Shto 5 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-y=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-y=-4$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=y-4$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë y-4.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-4+y}{3} në ekuacionin tjetër, 9x-y=5.

$$9\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=5$$

Shumëzo 9 herë \frac{-4+y}{3}.

$$3y-12-y=5$$

Mblidh 3y me -y.

$$2y-12=5$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=17$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{17}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{17}{2} në x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{17}{2}-\frac{4}{3}$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë \frac{17}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{17}{6}-\frac{4}{3}$$

Mblidh -\frac{4}{3} me \frac{17}{6} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x+4-y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-y=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$9x-5-y=0$$

Shto 5 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-y=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 5\\-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x+4-y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-y=-4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$9x-5-y=0$$

Shto 5 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-y=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Zbrit 9x-y=5 nga 3x-y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-9x-y+y=-4-5$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x-9x=-4-5$$

Mblidh 3x me -9x.

$$-6x=-4-5$$

Mblidh -4 me -5.

$$-6x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3}{2} në 9x-y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$9\times \frac{3}{2}-y=5$$

Shumëzo 9 herë \frac{3}{2}.

$$\frac{27}{2}-y=5$$

Zbrit \frac{27}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-\frac{17}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=\frac{17}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$