Zgjidh {l}{3x+10y=40}{y=3/10x-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 40 } \\ { y = \frac { 3 } { 10 } x - 7 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3} \approx 18.333333333$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{10}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+10y=40$$

Zbrit 10y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-10y+40$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+40\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -10y+40.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-10y+40}{3} në ekuacionin tjetër, -\frac{3}{10}x+y=-7.

$$-\frac{3}{10}\left(-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}\right)+y=-7$$

Shumëzo -\frac{3}{10} herë \frac{-10y+40}{3}.

$$y-4+y=-7$$

Mblidh y me y.

$$2y-4=-7$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=-3$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{3}{2} në x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{10}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{40}{3}$$

Shumëzo -\frac{10}{3} herë -\frac{3}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=5+\frac{40}{3}$$

Mblidh \frac{40}{3} me 5.

$$x=\frac{55}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{10}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&-\frac{10}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{10}}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&\frac{3}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 40-\frac{5}{3}\left(-7\right)\\\frac{1}{20}\times 40+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{3}{10}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -\frac{3x}{10}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -\frac{3}{10} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-\frac{3}{10}\times 3x-\frac{3}{10}\times 10y=-\frac{3}{10}\times 40,3\left(-\frac{3}{10}\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

Thjeshto.

$$-\frac{9}{10}x-3y=-12,-\frac{9}{10}x+3y=-21$$

Zbrit -\frac{9}{10}x+3y=-21 nga -\frac{9}{10}x-3y=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}x-3y-3y=-12+21$$

Mblidh -\frac{9x}{10} me \frac{9x}{10}. Shprehjet -\frac{9x}{10} dhe \frac{9x}{10} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-3y=-12+21$$

Mblidh -3y me -3y.

$$-6y=-12+21$$

Mblidh -12 me 21.

$$-6y=9$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{3}{2} në -\frac{3}{10}x+y=-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{3}{2}=-7$$

Mblidh \frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{10}x=-\frac{11}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{10}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=\frac{55}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$