Zgjidh {l}{3(x-2y)+6(2x-y)=-12}{x-2y+5(2x-y)=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( x - 2 y ) + 6 ( 2 x - y ) = - 12 } \\ { x - 2 y + 5 ( 2 x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2y.

$$3x-6y+6\left(2x-y\right)=-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 6 me 2x-y.

$$3x-6y+12x-6y=-12$$

Kombino 3x dhe 12x për të marrë 15x.

$$15x-6y-6y=-12$$

Kombino -6y dhe -6y për të marrë -12y.

$$15x-12y=-12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 2x-y.

$$x-2y+10x-5y=2$$

Kombino x dhe 10x për të marrë 11x.

$$11x-2y-5y=2$$

Kombino -2y dhe -5y për të marrë -7y.

$$11x-7y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$15x-12y=-12,11x-7y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$15x-12y=-12$$

Mblidh 12y në të dyja anët e ekuacionit.

$$15x=12y-12$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(12y-12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{15} herë -12+12y.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{4}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{-4+4y}{5} në ekuacionin tjetër, 11x-7y=2.

$$11\left(\frac{4}{5}y-\frac{4}{5}\right)-7y=2$$

Shumëzo 11 herë \frac{-4+4y}{5}.

$$\frac{44}{5}y-\frac{44}{5}-7y=2$$

Mblidh \frac{44y}{5} me -7y.

$$\frac{9}{5}y-\frac{44}{5}=2$$

Mblidh \frac{44}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{9}{5}y=\frac{54}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në x=\frac{4}{5}y-\frac{4}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4}{5}\times 6-\frac{4}{5}$$

Shumëzo \frac{4}{5} herë 6.

$$x=\frac{24-4}{5}$$

Mblidh -\frac{4}{5} me \frac{24}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2y.

$$3x-6y+6\left(2x-y\right)=-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 6 me 2x-y.

$$3x-6y+12x-6y=-12$$

Kombino 3x dhe 12x për të marrë 15x.

$$15x-6y-6y=-12$$

Kombino -6y dhe -6y për të marrë -12y.

$$15x-12y=-12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 2x-y.

$$x-2y+10x-5y=2$$

Kombino x dhe 10x për të marrë 11x.

$$11x-2y-5y=2$$

Kombino -2y dhe -5y për të marrë -7y.

$$11x-7y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$15x-12y=-12,11x-7y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-12\\11&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{15\left(-7\right)-\left(-12\times 11\right)}&-\frac{-12}{15\left(-7\right)-\left(-12\times 11\right)}\\-\frac{11}{15\left(-7\right)-\left(-12\times 11\right)}&\frac{15}{15\left(-7\right)-\left(-12\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{27}&\frac{4}{9}\\-\frac{11}{27}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{27}\left(-12\right)+\frac{4}{9}\times 2\\-\frac{11}{27}\left(-12\right)+\frac{5}{9}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2y.

$$3x-6y+6\left(2x-y\right)=-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 6 me 2x-y.

$$3x-6y+12x-6y=-12$$

Kombino 3x dhe 12x për të marrë 15x.

$$15x-6y-6y=-12$$

Kombino -6y dhe -6y për të marrë -12y.

$$15x-12y=-12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 2x-y.

$$x-2y+10x-5y=2$$

Kombino x dhe 10x për të marrë 11x.

$$11x-2y-5y=2$$

Kombino -2y dhe -5y për të marrë -7y.

$$11x-7y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$15x-12y=-12,11x-7y=2$$

Për ta bërë 15x të barabartë me 11x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 11 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 15.

$$11\times 15x+11\left(-12\right)y=11\left(-12\right),15\times 11x+15\left(-7\right)y=15\times 2$$

Thjeshto.

$$165x-132y=-132,165x-105y=30$$

Zbrit 165x-105y=30 nga 165x-132y=-132 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$165x-165x-132y+105y=-132-30$$

Mblidh 165x me -165x. Shprehjet 165x dhe -165x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-132y+105y=-132-30$$

Mblidh -132y me 105y.

$$-27y=-132-30$$

Mblidh -132 me -30.

$$-27y=-162$$

Pjesëto të dyja anët me -27.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në 11x-7y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$11x-7\times 6=2$$

Shumëzo -7 herë 6.

$$11x-42=2$$

Mblidh 42 në të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=44$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=6$$