Zgjidh {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Gjej c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej c duke veçuar c në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$25c+22T=152000$$

Zbrit 22T nga të dyja anët e ekuacionit.

$$25c=-22T+152000$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Shumëzo \frac{1}{25} herë -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Zëvendëso c me -\frac{22T}{25}+6080 në ekuacionin tjetër, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Shumëzo 11 herë -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Mblidh -\frac{242T}{25} me 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Zbrit 66880 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{58}{25}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$T=3500$$

Zëvendëso T me 3500 në c=-\frac{22}{25}T+6080. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh c menjëherë.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Shumëzo -\frac{22}{25} herë 3500.

$$c=-3080+6080$$

Mblidh 6080 me -3080.

$$c=3000$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$c=3000,T=3500$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës c dhe T.

$$c=3000,T=3500$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Për ta bërë 25c të barabartë me 11c, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 11 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Thjeshto.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Zbrit 275c+300T=1875000 nga 275c+242T=1672000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Mblidh 275c me -275c. Shprehjet 275c dhe -275c thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Mblidh 242T me -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Mblidh 1672000 me -1875000.

$$-58T=-203000$$

Pjesëto të dyja anët me -58.

$$T=3500$$

Zëvendëso T me 3500 në 11c+12T=75000. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh c menjëherë.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Shumëzo 12 herë 3500.

$$11c+42000=75000$$

Zbrit 42000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$11c=33000$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$c=3000$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$c=3000,T=3500$$