Zgjidh {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$22x+y=50$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$22x=-y+50$$

Pjesëto të dyja anët me 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

Shumëzo \frac{1}{22} herë -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} në ekuacionin tjetër, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

Shumëzo 27 herë -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

Mblidh -\frac{27y}{22} me -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Zbrit \frac{675}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{49}{22}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Zëvendëso y me -\frac{762}{49} në x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Shumëzo -\frac{1}{22} herë -\frac{762}{49} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Mblidh \frac{25}{11} me \frac{381}{539} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{146}{49}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Për ta bërë 22x të barabartë me 27x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 27 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 22.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Thjeshto.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Zbrit 594x-22y=2112 nga 594x+27y=1350 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

Mblidh 594x me -594x. Shprehjet 594x dhe -594x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$27y+22y=1350-2112$$

Mblidh 27y me 22y.

$$49y=1350-2112$$

Mblidh 1350 me -2112.

$$49y=-762$$

Pjesëto të dyja anët me 49.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Zëvendëso y me -\frac{762}{49} në 27x-y=96. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Zbrit \frac{762}{49} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Pjesëto të dyja anët me 27.

$$x=\frac{146}{49}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$