Zgjidh {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Gjej x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x_{1} duke veçuar x_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Zbrit 3x_{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Zëvendëso x_{1} me \frac{-3x_{2}+7}{2} në ekuacionin tjetër, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Shumëzo 4 herë \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Mblidh -6x_{2} me -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Zbrit 14 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-10x_{2}=-20$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$x_{2}=2$$

Zëvendëso x_{2} me 2 në x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Mblidh \frac{7}{2} me -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x_{1} dhe x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Për ta bërë 2x_{1} të barabartë me 4x_{1}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Thjeshto.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Zbrit 8x_{1}-8x_{2}=-12 nga 8x_{1}+12x_{2}=28 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Mblidh 8x_{1} me -8x_{1}. Shprehjet 8x_{1} dhe -8x_{1} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Mblidh 12x_{2} me 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Mblidh 28 me 12.

$$20x_{2}=40$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$x_{2}=2$$

Zëvendëso x_{2} me 2 në 4x_{1}-4x_{2}=-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x_{1}=2$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$