Zgjidh {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=-2$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y-2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Zëvendëso x me \frac{y}{2}-1 në ekuacionin tjetër, -5x+y=-1.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

Shumëzo -5 herë \frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

Mblidh -\frac{5y}{2} me y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në x=\frac{1}{2}y-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 4.

$$x=2-1$$

Mblidh -1 me 2.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

Zbrit -10x+2y=-2 nga -10x+5y=10 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

Mblidh -10x me 10x. Shprehjet -10x dhe 10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5y-2y=10+2$$

Mblidh 5y me -2y.

$$3y=10+2$$

Mblidh 10 me 2.

$$3y=12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në -5x+y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-5x+4=-1$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=4$$