Zgjidh {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-5y=100$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=5y+100$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 100+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

Zëvendëso x me 50+\frac{5y}{2} në ekuacionin tjetër, 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

Shumëzo 4 herë 50+\frac{5y}{2}.

$$10y+200+y=120$$

Mblidh 10y me y.

$$11y+200=120$$

Zbrit 200 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$11y=-80$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Zëvendëso y me -\frac{80}{11} në x=\frac{5}{2}y+50. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

Shumëzo \frac{5}{2} herë -\frac{80}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

Mblidh 50 me -\frac{200}{11}.

$$x=\frac{350}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

Thjeshto.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

Zbrit 8x+2y=240 nga 8x-20y=400 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-20y-2y=400-240$$

Mblidh -20y me -2y.

$$-22y=400-240$$

Mblidh 400 me -240.

$$-22y=160$$

Pjesëto të dyja anët me -22.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Zëvendëso y me -\frac{80}{11} në 4x+y=120. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

Mblidh \frac{80}{11} në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{350}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$