Zgjidh {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$2y+3x=-17$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=10$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}+5 në ekuacionin tjetër, 3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

Shumëzo 3 herë \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

Mblidh \frac{9y}{2} me 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{13}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Zëvendëso y me -\frac{64}{13} në x=\frac{3}{2}y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -\frac{64}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

Mblidh 5 me -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$2y+3x=-17$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$2y+3x=-17$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

Thjeshto.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

Zbrit 6x+4y=-34 nga 6x-9y=30 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y-4y=30+34$$

Mblidh -9y me -4y.

$$-13y=30+34$$

Mblidh 30 me 34.

$$-13y=64$$

Pjesëto të dyja anët me -13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Zëvendëso y me -\frac{64}{13} në 3x+2y=-17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

Shumëzo 2 herë -\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

Mblidh \frac{128}{13} në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$