Zgjidh {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$17y+3x=-11$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=10$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}+5 në ekuacionin tjetër, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

Shumëzo 3 herë \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Mblidh \frac{9y}{2} me 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{43}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Zëvendëso y me -\frac{52}{43} në x=\frac{3}{2}y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -\frac{52}{43} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Mblidh 5 me -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$17y+3x=-11$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$17y+3x=-11$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Thjeshto.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Zbrit 6x+34y=-22 nga 6x-9y=30 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y-34y=30+22$$

Mblidh -9y me -34y.

$$-43y=30+22$$

Mblidh 30 me 22.

$$-43y=52$$

Pjesëto të dyja anët me -43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Zëvendëso y me -\frac{52}{43} në 3x+17y=-11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

Shumëzo 17 herë -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Mblidh \frac{884}{43} në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{137}{43}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$