Zgjidh {l}{2x-2y=1}{4y-1/2=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 1 } \\ { \frac { 4 y - 1 } { 2 } = x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto çdo kufizë të 4y-1 me 2 për të marrë 2y-\frac{1}{2}.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

Shto \frac{1}{2} në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-2y=1$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=2y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 2y+1.

$$x=y+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me y+\frac{1}{2} në ekuacionin tjetër, -x+2y=\frac{1}{2}.

$$-\left(y+\frac{1}{2}\right)+2y=\frac{1}{2}$$

Shumëzo -1 herë y+\frac{1}{2}.

$$-y-\frac{1}{2}+2y=\frac{1}{2}$$

Mblidh -y me 2y.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=y+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=1+\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} me 1.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto çdo kufizë të 4y-1 me 2 për të marrë 2y-\frac{1}{2}.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

Shto \frac{1}{2} në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+\frac{1}{2}\\\frac{1+1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto çdo kufizë të 4y-1 me 2 për të marrë 2y-\frac{1}{2}.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

Shto \frac{1}{2} në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2x-\left(-2y\right)=-1,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\times \frac{1}{2}$$

Thjeshto.

$$-2x+2y=-1,-2x+4y=1$$

Zbrit -2x+4y=1 nga -2x+2y=-1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x+2y-4y=-1-1$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y-4y=-1-1$$

Mblidh 2y me -4y.

$$-2y=-1-1$$

Mblidh -1 me -1.

$$-2y=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -x+2y=\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+2=\frac{1}{2}$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-\frac{3}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$