Zgjidh {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2 në të dyja anët.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Shto \frac{1}{2} dhe 2 për të marrë \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 8 me y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Zbrit 4 nga 9 për të marrë 5.

$$8y-4=9x+5$$

Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$8y-4-9x=5$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$8y-9x=5+4$$

Shto 5 dhe 4 për të marrë 9.

$$8y-9x=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -4y+\frac{5}{2}.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

Zëvendëso x me -2y+\frac{5}{4} në ekuacionin tjetër, -9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

Shumëzo -9 herë -2y+\frac{5}{4}.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

Mblidh 18y me 8y.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

Mblidh \frac{45}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$26y=\frac{81}{4}$$

Pjesëto të dyja anët me 26.

$$y=\frac{81}{104}$$

Zëvendëso y me \frac{81}{104} në x=-2y+\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Shumëzo -2 herë \frac{81}{104}.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Mblidh \frac{5}{4} me -\frac{81}{52} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2 në të dyja anët.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Shto \frac{1}{2} dhe 2 për të marrë \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 8 me y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Zbrit 4 nga 9 për të marrë 5.

$$8y-4=9x+5$$

Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$8y-4-9x=5$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$8y-9x=5+4$$

Shto 5 dhe 4 për të marrë 9.

$$8y-9x=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2 në të dyja anët.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Shto \frac{1}{2} dhe 2 për të marrë \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 8 me y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Zbrit 4 nga 9 për të marrë 5.

$$8y-4=9x+5$$

Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$8y-4-9x=5$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$8y-9x=5+4$$

Shto 5 dhe 4 për të marrë 9.

$$8y-9x=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

Thjeshto.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

Zbrit -18x+16y=18 nga -18x-36y=-\frac{45}{2} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Mblidh -18x me 18x. Shprehjet -18x dhe 18x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Mblidh -36y me -16y.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

Mblidh -\frac{45}{2} me -18.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -52.

$$y=\frac{81}{104}$$

Zëvendëso y me \frac{81}{104} në -9x+8y=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

Shumëzo 8 herë \frac{81}{104}.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

Zbrit \frac{81}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$