Zgjidh {l}{2x=y-1}{x+7=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x = y - 1 } \\ { x + 7 = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=6$$

$$y=13$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=-1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+7-y=0$$

Zbrit 7 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-y=-7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=-1,x-y=-7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=-1$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y-1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y-1.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-1+y}{2} në ekuacionin tjetër, x-y=-7.

$$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}-y=-7$$

Mblidh \frac{y}{2} me -y.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=-7$$

Mblidh \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Shumëzo të dyja anët me -2.

$$y=13$$

Zëvendëso y me 13 në x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 13-\frac{1}{2}$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 13.

$$x=\frac{13-1}{2}$$

Mblidh -\frac{1}{2} me \frac{13}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=13$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=-1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+7-y=0$$

Zbrit 7 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-y=-7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=-1,x-y=-7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\left(-7\right)\\-1-2\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=6,y=13$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=-1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+7-y=0$$

Zbrit 7 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-y=-7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=-1,x-y=-7$$

Zbrit x-y=-7 nga 2x-y=-1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-x-y+y=-1+7$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-x=-1+7$$

Mblidh 2x me -x.

$$x=-1+7$$

Mblidh -1 me 7.

$$x=6$$

Zëvendëso x me 6 në x-y=-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$6-y=-7$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-13$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=13$$