Zgjidh {l}{2x+y=3}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+y=3$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-y+3$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+3}{2} në ekuacionin tjetër, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=1$$

Shumëzo -2 herë \frac{-y+3}{2}.

$$y-3+y=1$$

Mblidh y me y.

$$2y-3=1$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+\frac{3}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 2.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{3}{2} me -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}&\frac{2}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Zbrit -2x+y=1 nga 2x+y=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x+2x+y-y=3-1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x+2x=3-1$$

Mblidh 2x me 2x.

$$4x=3-1$$

Mblidh 3 me -1.

$$4x=2$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{1}{2} në -2x+y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2\times \frac{1}{2}+y=1$$

Shumëzo -2 herë \frac{1}{2}.

$$-1+y=1$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$