Zgjidh {l}{2x+y=2}{y=-x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 } \\ { y = - x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+y=2$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-y+2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+1$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}+1 në ekuacionin tjetër, x+y=-2.

$$-\frac{1}{2}y+1+y=-2$$

Mblidh -\frac{y}{2} me y.

$$\frac{1}{2}y+1=-2$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}y=-3$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në x=-\frac{1}{2}y+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+1$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -6.

$$x=3+1$$

Mblidh 1 me 3.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\left(-2\right)\\-2+2\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=-6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Zbrit x+y=-2 nga 2x+y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-x+y-y=2+2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-x=2+2$$

Mblidh 2x me -x.

$$x=2+2$$

Mblidh 2 me 2.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$4+y=-2$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-6$$