Zgjidh {l}{2x+y=10}{3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 } \\ { 3 x = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+y=10$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}+5 në ekuacionin tjetër, 3x-y=0.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+5\right)-y=0$$

Shumëzo 3 herë -\frac{y}{2}+5.

$$-\frac{3}{2}y+15-y=0$$

Mblidh -\frac{3y}{2} me -y.

$$-\frac{5}{2}y+15=0$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{5}{2}y=-15$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{5}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në x=-\frac{1}{2}y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\times 6+5$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 6.

$$x=-3+5$$

Mblidh 5 me -3.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 10,2\times 3x+2\left(-1\right)y=0$$

Thjeshto.

$$6x+3y=30,6x-2y=0$$

Zbrit 6x-2y=0 nga 6x+3y=30 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+3y+2y=30$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y+2y=30$$

Mblidh 3y me 2y.

$$5y=30$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në 3x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-6=0$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=6$$