Zgjidh {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+y=-6$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-y-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}-3 në ekuacionin tjetër, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Shumëzo -7 herë -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Mblidh \frac{7y}{2} me y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Zbrit 21 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x=-\frac{1}{2}y-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -4.

$$x=2-3$$

Mblidh -3 me 2.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Zbrit -7x+y=3 nga 2x+y=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x+7x=-6-3$$

Mblidh 2x me 7x.

$$9x=-6-3$$

Mblidh -6 me -3.

$$9x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në -7x+y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Shumëzo -7 herë -1.

$$7+y=3$$

Zbrit 7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-4$$