Zgjidh {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+5y=259$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-5y+259$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-5y+259}{2} në ekuacionin tjetër, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Shumëzo 199 herë \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Mblidh -\frac{995y}{2} me -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Zbrit \frac{51541}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{999}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Zëvendëso y me \frac{16429}{333} në x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Shumëzo -\frac{5}{2} herë \frac{16429}{333} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Mblidh \frac{259}{2} me -\frac{82145}{666} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 199x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 199 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Thjeshto.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Zbrit 398x-4y=2254 nga 398x+995y=51541 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Mblidh 398x me -398x. Shprehjet 398x dhe -398x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$995y+4y=51541-2254$$

Mblidh 995y me 4y.

$$999y=51541-2254$$

Mblidh 51541 me -2254.

$$999y=49287$$

Pjesëto të dyja anët me 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Zëvendëso y me \frac{16429}{333} në 199x-2y=1127. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Shumëzo -2 herë \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Mblidh \frac{32858}{333} në të dyja anët e ekuacionit.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Pjesëto të dyja anët me 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$