Zgjidh {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$6y+5x=6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+5y=17$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-5y+17$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-5y+17}{2} në ekuacionin tjetër, 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

Shumëzo 5 herë \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

Mblidh -\frac{25y}{2} me 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Zbrit \frac{85}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{13}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{73}{13}$$

Zëvendëso y me \frac{73}{13} në x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Shumëzo -\frac{5}{2} herë \frac{73}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Mblidh \frac{17}{2} me -\frac{365}{26} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$6y+5x=6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$6y+5x=6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Thjeshto.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Zbrit 10x+12y=12 nga 10x+25y=85 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

Mblidh 10x me -10x. Shprehjet 10x dhe -10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$25y-12y=85-12$$

Mblidh 25y me -12y.

$$13y=85-12$$

Mblidh 85 me -12.

$$13y=73$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$y=\frac{73}{13}$$

Zëvendëso y me \frac{73}{13} në 5x+6y=6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

Shumëzo 6 herë \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Zbrit \frac{438}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$