Zgjidh {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{7}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+5y=-10$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-5y-10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{2}-5 në ekuacionin tjetër, \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

Shumëzo \frac{7}{5} herë -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Mblidh -\frac{7y}{2} me y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Mblidh 7 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{5}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në x=-\frac{5}{2}y-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

Shumëzo -\frac{5}{2} herë -4.

$$x=10-5$$

Mblidh -5 me 10.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{7}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{7}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Për ta bërë 2x të barabartë me \frac{7x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{7}{5} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Thjeshto.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

Zbrit \frac{14}{5}x+2y=6 nga \frac{14}{5}x+7y=-14 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Mblidh \frac{14x}{5} me -\frac{14x}{5}. Shprehjet \frac{14x}{5} dhe -\frac{14x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$7y-2y=-14-6$$

Mblidh 7y me -2y.

$$5y=-14-6$$

Mblidh -14 me -6.

$$5y=-20$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-4$$

Zëvendëso y me -4 në \frac{7}{5}x+y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{5}x=7$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-4$$