Zgjidh {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+4y=362$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-4y+362$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -4y+362.

$$x=-2y+181$$

Zëvendëso x me -2y+181 në ekuacionin tjetër, 3x+2y=153.5.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

Shumëzo 3 herë -2y+181.

$$-6y+543+2y=153.5$$

Mblidh -6y me 2y.

$$-4y+543=153.5$$

Zbrit 543 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4y=-389.5$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=97.375$$

Zëvendëso y me 97.375 në x=-2y+181. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times 97.375+181$$

Shumëzo -2 herë 97.375.

$$x=-194.75+181$$

Mblidh 181 me -194.75.

$$x=-13.75$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-13.75,y=97.375$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

Thjeshto.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

Zbrit 6x+4y=307 nga 6x+12y=1086 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12y-4y=1086-307$$

Mblidh 12y me -4y.

$$8y=1086-307$$

Mblidh 1086 me -307.

$$8y=779$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$y=\frac{779}{8}$$

Zëvendëso y me \frac{779}{8} në 3x+2y=153.5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

Shumëzo 2 herë \frac{779}{8}.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

Zbrit \frac{779}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-\frac{55}{4}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$