Zgjidh {l}{2x+3y=5}{7x=4y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$7x-4y=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+3y=5$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-3y+5$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-3y+5}{2} në ekuacionin tjetër, 7x-4y=-2.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

Shumëzo 7 herë \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

Mblidh -\frac{21y}{2} me -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

Zbrit \frac{35}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{29}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{39}{29}$$

Zëvendëso y me \frac{39}{29} në x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë \frac{39}{29} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

Mblidh \frac{5}{2} me -\frac{117}{58} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{14}{29}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$7x-4y=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$7x-4y=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

Thjeshto.

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

Zbrit 14x-8y=-4 nga 14x+21y=35 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

Mblidh 14x me -14x. Shprehjet 14x dhe -14x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$21y+8y=35+4$$

Mblidh 21y me 8y.

$$29y=35+4$$

Mblidh 35 me 4.

$$29y=39$$

Pjesëto të dyja anët me 29.

$$y=\frac{39}{29}$$

Zëvendëso y me \frac{39}{29} në 7x-4y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

Shumëzo -4 herë \frac{39}{29}.

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

Mblidh \frac{156}{29} në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=\frac{98}{29}$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{14}{29}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$