Zgjidh {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+3y=20$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-3y+20$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{2}+10 në ekuacionin tjetër, 7x+2y=53.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

Shumëzo 7 herë -\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

Mblidh -\frac{21y}{2} me 2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

Zbrit 70 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{17}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-\frac{3}{2}y+10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë 2.

$$x=-3+10$$

Mblidh 10 me -3.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

Thjeshto.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

Zbrit 14x+4y=106 nga 14x+21y=140 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

Mblidh 14x me -14x. Shprehjet 14x dhe -14x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$21y-4y=140-106$$

Mblidh 21y me -4y.

$$17y=140-106$$

Mblidh 140 me -106.

$$17y=34$$

Pjesëto të dyja anët me 17.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në 7x+2y=53. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$7x+2\times 2=53$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$7x+4=53$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=49$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=2$$