Zgjidh {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej X, Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2 në të dyja anët.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Shto \frac{1}{2} dhe 2 për të marrë \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 8 me Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Zbrit 4 nga 9 për të marrë 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Zbrit 9X nga të dyja anët.

$$8Y-4-9X=5$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$8Y-9X=5+4$$

Shto 5 dhe 4 për të marrë 9.

$$8Y-9X=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej X duke veçuar X në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Zbrit 4Y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Zëvendëso X me -2Y+\frac{5}{4} në ekuacionin tjetër, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

Shumëzo -9 herë -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

Mblidh 18Y me 8Y.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Mblidh \frac{45}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Pjesëto të dyja anët me 26.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Zëvendëso Y me \frac{81}{104} në X=-2Y+\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh X menjëherë.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Shumëzo -2 herë \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Mblidh \frac{5}{4} me -\frac{81}{52} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2 në të dyja anët.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Shto \frac{1}{2} dhe 2 për të marrë \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 8 me Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Zbrit 4 nga 9 për të marrë 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Zbrit 9X nga të dyja anët.

$$8Y-4-9X=5$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$8Y-9X=5+4$$

Shto 5 dhe 4 për të marrë 9.

$$8Y-9X=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës X dhe Y.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2 në të dyja anët.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Shto \frac{1}{2} dhe 2 për të marrë \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 8 me Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 9 me X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Zbrit 4 nga 9 për të marrë 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Zbrit 9X nga të dyja anët.

$$8Y-4-9X=5$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$8Y-9X=5+4$$

Shto 5 dhe 4 për të marrë 9.

$$8Y-9X=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Për ta bërë 2X të barabartë me -9X, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Thjeshto.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Zbrit -18X+16Y=18 nga -18X-36Y=-\frac{45}{2} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Mblidh -18X me 18X. Shprehjet -18X dhe 18X thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Mblidh -36Y me -16Y.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

Mblidh -\frac{45}{2} me -18.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -52.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Zëvendëso Y me \frac{81}{104} në -9X+8Y=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh X menjëherë.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

Shumëzo 8 herë \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Zbrit \frac{81}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$