Zgjidh {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto të dyja anët me 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Shpreh \frac{\frac{1}{2}}{2} si një thyesë të vetme.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët me 2, të anasjellën e \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Shumëzo \frac{3}{2} me 2 për të marrë 3.

$$2x+8y=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} në ekuacionin tjetër, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

Shumëzo 2 herë -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

Mblidh -\frac{2y}{3} me 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

Zbrit \frac{1}{6} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{22}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{17}{44}$$

Zëvendëso y me \frac{17}{44} në x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë \frac{17}{44} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

Mblidh \frac{1}{12} me -\frac{17}{132} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto të dyja anët me 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Shpreh \frac{\frac{1}{2}}{2} si një thyesë të vetme.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët me 2, të anasjellën e \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Shumëzo \frac{3}{2} me 2 për të marrë 3.

$$2x+8y=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto të dyja anët me 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Shpreh \frac{\frac{1}{2}}{2} si një thyesë të vetme.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët me 2, të anasjellën e \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Shumëzo \frac{3}{2} me 2 për të marrë 3.

$$2x+8y=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

Thjeshto.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

Zbrit 6x+24y=9 nga 6x+2y=\frac{1}{2} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Mblidh 2y me -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

Mblidh \frac{1}{2} me -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me -22.

$$y=\frac{17}{44}$$

Zëvendëso y me \frac{17}{44} në 2x+8y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

Shumëzo 8 herë \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

Zbrit \frac{34}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$