Zgjidh {l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=30$$

$$y=20$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$4x=6y$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë 6y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2} në ekuacionin tjetër, 4x+12y=360.

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

Shumëzo 4 herë \frac{3y}{2}.

$$6y+12y=360$$

Mblidh 6y me 12y.

$$18y=360$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$y=20$$

Zëvendëso y me 20 në x=\frac{3}{2}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë 20.

$$x=30$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=30,y=20$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$4x=6y$$

Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$4x-6y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo 2 me 6 për të marrë 12.

$$4x+12y=360$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=30,y=20$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$4x=6y$$

Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$4x-6y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo 2 me 6 për të marrë 12.

$$4x+12y=360$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Zbrit 4x+12y=360 nga 4x-6y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6y-12y=-360$$

Mblidh -6y me -12y.

$$-18y=-360$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=20$$

Zëvendëso y me 20 në 4x+12y=360. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x+12\times 20=360$$

Shumëzo 12 herë 20.

$$4x+240=360$$

Zbrit 240 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=120$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=30$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=30,y=20$$