Zgjidh {l}{18x-16y=-312}{78x-16y=408}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 16 y = - 312 } \\ { 78 x - 16 y = 408 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=12$$

$$y=33$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$18x-16y=-312$$

Mblidh 16y në të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=16y-312$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(16y-312\right)$$

Shumëzo \frac{1}{18} herë 16y-312.

$$x=\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{8y}{9}-\frac{52}{3} në ekuacionin tjetër, 78x-16y=408.

$$78\left(\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}\right)-16y=408$$

Shumëzo 78 herë \frac{8y}{9}-\frac{52}{3}.

$$\frac{208}{3}y-1352-16y=408$$

Mblidh \frac{208y}{3} me -16y.

$$\frac{160}{3}y-1352=408$$

Mblidh 1352 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{160}{3}y=1760$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{160}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=33$$

Zëvendëso y me 33 në x=\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{8}{9}\times 33-\frac{52}{3}$$

Shumëzo \frac{8}{9} herë 33.

$$x=\frac{88-52}{3}$$

Mblidh -\frac{52}{3} me \frac{88}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=33$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}&-\frac{-16}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}\\-\frac{78}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}&\frac{18}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{60}&\frac{1}{60}\\-\frac{13}{160}&\frac{3}{160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{60}\left(-312\right)+\frac{1}{60}\times 408\\-\frac{13}{160}\left(-312\right)+\frac{3}{160}\times 408\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\33\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=12,y=33$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Zbrit 78x-16y=408 nga 18x-16y=-312 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$18x-78x-16y+16y=-312-408$$

Mblidh -16y me 16y. Shprehjet -16y dhe 16y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18x-78x=-312-408$$

Mblidh 18x me -78x.

$$-60x=-312-408$$

Mblidh -312 me -408.

$$-60x=-720$$

Pjesëto të dyja anët me -60.

$$x=12$$

Zëvendëso x me 12 në 78x-16y=408. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$78\times 12-16y=408$$

Shumëzo 78 herë 12.

$$936-16y=408$$

Zbrit 936 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-16y=-528$$

Pjesëto të dyja anët me -16.

$$y=33$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=33$$