Zgjidh {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$1200x+1600y=18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$600x+2400y=17$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$1200x+1600y=18$$

Zbrit 1600y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$1200x=-1600y+18$$

Pjesëto të dyja anët me 1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Shumëzo \frac{1}{1200} herë -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Zëvendëso x me -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} në ekuacionin tjetër, 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Shumëzo 600 herë -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Mblidh -800y me 2400y.

$$1600y+9=17$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$1600y=8$$

Pjesëto të dyja anët me 1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{200} në x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë \frac{1}{200} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Mblidh \frac{3}{200} me -\frac{1}{150} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1}{120}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$1200x+1600y=18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$600x+2400y=17$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$1200x+1600y=18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$600x+2400y=17$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Për ta bërë 1200x të barabartë me 600x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 600 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Thjeshto.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Zbrit 720000x+2880000y=20400 nga 720000x+960000y=10800 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Mblidh 720000x me -720000x. Shprehjet 720000x dhe -720000x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Mblidh 960000y me -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Mblidh 10800 me -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Pjesëto të dyja anët me -1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{200} në 600x+2400y=17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Shumëzo 2400 herë \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$600x=5$$

Pjesëto të dyja anët me 600.

$$x=\frac{1}{120}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$