Zgjidh {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$15x+107y=1$$

Zbrit 107y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$15x=-107y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{15} herë -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Zëvendëso x me \frac{-107y+1}{15} në ekuacionin tjetër, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

Shumëzo 71 herë \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Mblidh -\frac{7597y}{15} me 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Zbrit \frac{71}{15} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{4912}{15}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{547}{614}$$

Zëvendëso y me \frac{547}{614} në x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Shumëzo -\frac{107}{15} herë \frac{547}{614} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Mblidh \frac{1}{15} me -\frac{58529}{9210} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Për ta bërë 15x të barabartë me 71x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 71 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Thjeshto.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Zbrit 1065x+2685y=-4305 nga 1065x+7597y=71 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Mblidh 1065x me -1065x. Shprehjet 1065x dhe -1065x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$7597y-2685y=71+4305$$

Mblidh 7597y me -2685y.

$$4912y=71+4305$$

Mblidh 71 me 4305.

$$4912y=4376$$

Pjesëto të dyja anët me 4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

Zëvendëso y me \frac{547}{614} në 71x+179y=-287. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

Shumëzo 179 herë \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Zbrit \frac{97913}{614} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Pjesëto të dyja anët me 71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$