Zgjidh {l}{13=8x-y}{8=x-10y}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 = 8 x - y } \\ { 8 = x - 10 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{122}{79} = 1\frac{43}{79} \approx 1.544303797$$

$$y=-\frac{51}{79}\approx -0.64556962$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$8x-y=13$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$x-10y=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$8x-y=13,x-10y=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$8x-y=13$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=y+13$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(y+13\right)$$

Shumëzo \frac{1}{8} herë y+13.

$$x=\frac{1}{8}y+\frac{13}{8}$$

Zëvendëso x me \frac{13+y}{8} në ekuacionin tjetër, x-10y=8.

$$\frac{1}{8}y+\frac{13}{8}-10y=8$$

Mblidh \frac{y}{8} me -10y.

$$-\frac{79}{8}y+\frac{13}{8}=8$$

Zbrit \frac{13}{8} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{79}{8}y=\frac{51}{8}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{79}{8}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{51}{79}$$

Zëvendëso y me -\frac{51}{79} në x=\frac{1}{8}y+\frac{13}{8}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{8}\left(-\frac{51}{79}\right)+\frac{13}{8}$$

Shumëzo \frac{1}{8} herë -\frac{51}{79} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{51}{632}+\frac{13}{8}$$

Mblidh \frac{13}{8} me -\frac{51}{632} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{122}{79}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{122}{79},y=-\frac{51}{79}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$8x-y=13$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$x-10y=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$8x-y=13,x-10y=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{8\left(-10\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{8\left(-10\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{8\left(-10\right)-\left(-1\right)}&\frac{8}{8\left(-10\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{79}&-\frac{1}{79}\\\frac{1}{79}&-\frac{8}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{79}\times 13-\frac{1}{79}\times 8\\\frac{1}{79}\times 13-\frac{8}{79}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{122}{79}\\-\frac{51}{79}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{122}{79},y=-\frac{51}{79}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$8x-y=13$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$x-10y=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$8x-y=13,x-10y=8$$

Për ta bërë 8x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 8.

$$8x-y=13,8x+8\left(-10\right)y=8\times 8$$

Thjeshto.

$$8x-y=13,8x-80y=64$$

Zbrit 8x-80y=64 nga 8x-y=13 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x-8x-y+80y=13-64$$

Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y+80y=13-64$$

Mblidh -y me 80y.

$$79y=13-64$$

Mblidh 13 me -64.

$$79y=-51$$

Pjesëto të dyja anët me 79.

$$y=-\frac{51}{79}$$

Zëvendëso y me -\frac{51}{79} në x-10y=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-10\left(-\frac{51}{79}\right)=8$$

Shumëzo -10 herë -\frac{51}{79}.

$$x+\frac{510}{79}=8$$

Zbrit \frac{510}{79} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{122}{79}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{122}{79},y=-\frac{51}{79}$$