Zgjidh {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$12x+4y=6$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$12x=-4y+6$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{12} herë -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} në ekuacionin tjetër, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Shumëzo 9 herë -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Mblidh -3y me 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Zbrit \frac{9}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Zëvendëso y me \frac{7}{26} në x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë \frac{7}{26} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} me -\frac{7}{78} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{16}{39}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Për ta bërë 12x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Thjeshto.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Zbrit 108x+192y=96 nga 108x+36y=54 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Mblidh 108x me -108x. Shprehjet 108x dhe -108x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$36y-192y=54-96$$

Mblidh 36y me -192y.

$$-156y=54-96$$

Mblidh 54 me -96.

$$-156y=-42$$

Pjesëto të dyja anët me -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Zëvendëso y me \frac{7}{26} në 9x+16y=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Shumëzo 16 herë \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Zbrit \frac{56}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$