Zgjidh {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$12a+4b=-4$$

Zbrit 4b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$12a=-4b-4$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{12} herë -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso a me \frac{-b-1}{3} në ekuacionin tjetër, 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

Shumëzo 3 herë \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

Mblidh -b me -9b.

$$-10b-1=-21$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-10b=-20$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$b=2$$

Zëvendëso b me 2 në a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Mblidh -\frac{1}{3} me -\frac{2}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-1,b=2$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=-1,b=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Për ta bërë 12a të barabartë me 3a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 12.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Thjeshto.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

Zbrit 36a-108b=-252 nga 36a+12b=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

Mblidh 36a me -36a. Shprehjet 36a dhe -36a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12b+108b=-12+252$$

Mblidh 12b me 108b.

$$120b=-12+252$$

Mblidh -12 me 252.

$$120b=240$$

Pjesëto të dyja anët me 120.

$$b=2$$

Zëvendëso b me 2 në 3a-9b=-21. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$3a-9\times 2=-21$$

Shumëzo -9 herë 2.

$$3a-18=-21$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3a=-3$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$a=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-1,b=2$$