Zgjidh {l}{110b+218c=-93}{109b+227c=-99}

$$\left. \begin{array} { l } { 110 b + 218 c = - 93 } \\ { 109 b + 227 c = - 99 } \end{array} \right.$$

Gjej b, c

$$b=\frac{471}{1208}\approx 0.389900662$$

$$c=-\frac{753}{1208}\approx -0.623344371$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej b duke veçuar b në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$110b+218c=-93$$

Zbrit 218c nga të dyja anët e ekuacionit.

$$110b=-218c-93$$

Pjesëto të dyja anët me 110.

$$b=\frac{1}{110}\left(-218c-93\right)$$

Shumëzo \frac{1}{110} herë -218c-93.

$$b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}$$

Zëvendëso b me -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110} në ekuacionin tjetër, 109b+227c=-99.

$$109\left(-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}\right)+227c=-99$$

Shumëzo 109 herë -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110}.

$$-\frac{11881}{55}c-\frac{10137}{110}+227c=-99$$

Mblidh -\frac{11881c}{55} me 227c.

$$\frac{604}{55}c-\frac{10137}{110}=-99$$

Mblidh \frac{10137}{110} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{604}{55}c=-\frac{753}{110}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{604}{55}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Zëvendëso c me -\frac{753}{1208} në b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$b=-\frac{109}{55}\left(-\frac{753}{1208}\right)-\frac{93}{110}$$

Shumëzo -\frac{109}{55} herë -\frac{753}{1208} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$b=\frac{82077}{66440}-\frac{93}{110}$$

Mblidh -\frac{93}{110} me \frac{82077}{66440} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$b=\frac{471}{1208}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{110\times 227-218\times 109}&-\frac{218}{110\times 227-218\times 109}\\-\frac{109}{110\times 227-218\times 109}&\frac{110}{110\times 227-218\times 109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}&-\frac{109}{604}\\-\frac{109}{1208}&\frac{55}{604}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}\left(-93\right)-\frac{109}{604}\left(-99\right)\\-\frac{109}{1208}\left(-93\right)+\frac{55}{604}\left(-99\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{471}{1208}\\-\frac{753}{1208}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës b dhe c.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Për ta bërë 110b të barabartë me 109b, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 109 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 110.

$$109\times 110b+109\times 218c=109\left(-93\right),110\times 109b+110\times 227c=110\left(-99\right)$$

Thjeshto.

$$11990b+23762c=-10137,11990b+24970c=-10890$$

Zbrit 11990b+24970c=-10890 nga 11990b+23762c=-10137 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$11990b-11990b+23762c-24970c=-10137+10890$$

Mblidh 11990b me -11990b. Shprehjet 11990b dhe -11990b thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$23762c-24970c=-10137+10890$$

Mblidh 23762c me -24970c.

$$-1208c=-10137+10890$$

Mblidh -10137 me 10890.

$$-1208c=753$$

Pjesëto të dyja anët me -1208.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Zëvendëso c me -\frac{753}{1208} në 109b+227c=-99. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$109b+227\left(-\frac{753}{1208}\right)=-99$$

Shumëzo 227 herë -\frac{753}{1208}.

$$109b-\frac{170931}{1208}=-99$$

Mblidh \frac{170931}{1208} në të dyja anët e ekuacionit.

$$109b=\frac{51339}{1208}$$

Pjesëto të dyja anët me 109.

$$b=\frac{471}{1208}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$