Zgjidh {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$0.04x+0.02y=5$$

Zbrit \frac{y}{50} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$0.04x=-0.02y+5$$

Shumëzo të dyja anët me 25.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

Shumëzo 25 herë -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}+125 në ekuacionin tjetër, 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

Mblidh 125 me -2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

Shumëzo 0.5 herë -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

Mblidh -\frac{y}{4} me -\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

Zbrit 61.5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-0.65y=-32.5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -0.65, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=50$$

Zëvendëso y me 50 në x=-0.5y+125. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-0.5\times 50+125$$

Shumëzo -0.5 herë 50.

$$x=-25+125$$

Mblidh 125 me -25.

$$x=100$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=100,y=50$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Thjeshto ekuacionin e dytë për ta vendosur në formë standarde.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Shumëzo 0.5 herë x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.5x-0.4y=30$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=100,y=50$$