Zgjidh {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$2y-9x=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-x+y=2$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-y+2$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

Shumëzo -1 herë -y+2.

$$x=y-2$$

Zëvendëso x me y-2 në ekuacionin tjetër, -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

Shumëzo -9 herë y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

Mblidh -9y me 2y.

$$-7y+18=9$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7y=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{9}{7} në x=y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

Mblidh -2 me \frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$2y-9x=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$2y-9x=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Për ta bërë -x të barabartë me -9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -1.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

Thjeshto.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

Zbrit 9x-2y=-9 nga 9x-9y=-18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

Mblidh 9x me -9x. Shprehjet 9x dhe -9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y+2y=-18+9$$

Mblidh -9y me 2y.

$$-7y=-18+9$$

Mblidh -18 me 9.

$$-7y=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{9}{7} në -9x+2y=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

Shumëzo 2 herë \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

Zbrit \frac{18}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$