Zgjidh {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Kombino 5y dhe 3y për të marrë 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-5x+8y-2x=0$$

Kombino -5x dhe -2x për të marrë -7x.

$$-7x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Për të gjetur të kundërtën e 6x+7, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2y-6x-7=-2$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$2y-6x=-2+7$$

Shto -2 dhe 7 për të marrë 5.

$$2y-6x=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-7x+8y=0$$

Zbrit 8y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7x=-8y$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

Shumëzo -\frac{1}{7} herë -8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

Zëvendëso x me \frac{8y}{7} në ekuacionin tjetër, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

Shumëzo -6 herë \frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

Mblidh -\frac{48y}{7} me 2y.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{34}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Zëvendëso y me -\frac{35}{34} në x=\frac{8}{7}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

Shumëzo \frac{8}{7} herë -\frac{35}{34} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Kombino 5y dhe 3y për të marrë 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-5x+8y-2x=0$$

Kombino -5x dhe -2x për të marrë -7x.

$$-7x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Për të gjetur të kundërtën e 6x+7, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2y-6x-7=-2$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$2y-6x=-2+7$$

Shto -2 dhe 7 për të marrë 5.

$$2y-6x=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Kombino 5y dhe 3y për të marrë 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-5x+8y-2x=0$$

Kombino -5x dhe -2x për të marrë -7x.

$$-7x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Për të gjetur të kundërtën e 6x+7, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2y-6x-7=-2$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$2y-6x=-2+7$$

Shto -2 dhe 7 për të marrë 5.

$$2y-6x=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Për ta bërë -7x të barabartë me -6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

Thjeshto.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

Zbrit 42x-14y=-35 nga 42x-48y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

Mblidh 42x me -42x. Shprehjet 42x dhe -42x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-48y+14y=35$$

Mblidh -48y me 14y.

$$-34y=35$$

Pjesëto të dyja anët me -34.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Zëvendëso y me -\frac{35}{34} në -6x+2y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

Shumëzo 2 herë -\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

Mblidh \frac{35}{17} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$