Zgjidh {l}{-5=27*I_{1}+20I_{2}}{-10=20I_{1}+35I_{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 = 27 \cdot I _ { 1 } + 20 I _ { 2 } } \\ { - 10 = 20 I _ { 1 } + 35 I _ { 2 } } \end{array} \right.$$

Gjej I_1, I_2

$$I_{1}=\frac{5}{109}\approx 0.04587156$$

$$I_{2}=-\frac{34}{109}\approx -0.311926606$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$20I_{1}+35I_{2}=-10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5,20I_{1}+35I_{2}=-10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej I_{1} duke veçuar I_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5$$

Zbrit 20I_{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$27I_{1}=-20I_{2}-5$$

Pjesëto të dyja anët me 27.

$$I_{1}=\frac{1}{27}\left(-20I_{2}-5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{27} herë -20I_{2}-5.

$$I_{1}=-\frac{20}{27}I_{2}-\frac{5}{27}$$

Zëvendëso I_{1} me \frac{-20I_{2}-5}{27} në ekuacionin tjetër, 20I_{1}+35I_{2}=-10.

$$20\left(-\frac{20}{27}I_{2}-\frac{5}{27}\right)+35I_{2}=-10$$

Shumëzo 20 herë \frac{-20I_{2}-5}{27}.

$$-\frac{400}{27}I_{2}-\frac{100}{27}+35I_{2}=-10$$

Mblidh -\frac{400I_{2}}{27} me 35I_{2}.

$$\frac{545}{27}I_{2}-\frac{100}{27}=-10$$

Mblidh \frac{100}{27} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{545}{27}I_{2}=-\frac{170}{27}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{545}{27}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$I_{2}=-\frac{34}{109}$$

Zëvendëso I_{2} me -\frac{34}{109} në I_{1}=-\frac{20}{27}I_{2}-\frac{5}{27}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh I_{1} menjëherë.

$$I_{1}=-\frac{20}{27}\left(-\frac{34}{109}\right)-\frac{5}{27}$$

Shumëzo -\frac{20}{27} herë -\frac{34}{109} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$I_{1}=\frac{680}{2943}-\frac{5}{27}$$

Mblidh -\frac{5}{27} me \frac{680}{2943} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$I_{1}=\frac{5}{109}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$I_{1}=\frac{5}{109},I_{2}=-\frac{34}{109}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$20I_{1}+35I_{2}=-10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5,20I_{1}+35I_{2}=-10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}27&20\\20&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{27\times 35-20\times 20}&-\frac{20}{27\times 35-20\times 20}\\-\frac{20}{27\times 35-20\times 20}&\frac{27}{27\times 35-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{109}&-\frac{4}{109}\\-\frac{4}{109}&\frac{27}{545}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{109}\left(-5\right)-\frac{4}{109}\left(-10\right)\\-\frac{4}{109}\left(-5\right)+\frac{27}{545}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{109}\\-\frac{34}{109}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës I_{1} dhe I_{2}.

$$I_{1}=\frac{5}{109},I_{2}=-\frac{34}{109}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$20I_{1}+35I_{2}=-10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$27I_{1}+20I_{2}=-5,20I_{1}+35I_{2}=-10$$

Për ta bërë 27I_{1} të barabartë me 20I_{1}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 20 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 27.

$$20\times 27I_{1}+20\times 20I_{2}=20\left(-5\right),27\times 20I_{1}+27\times 35I_{2}=27\left(-10\right)$$

Thjeshto.

$$540I_{1}+400I_{2}=-100,540I_{1}+945I_{2}=-270$$

Zbrit 540I_{1}+945I_{2}=-270 nga 540I_{1}+400I_{2}=-100 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$540I_{1}-540I_{1}+400I_{2}-945I_{2}=-100+270$$

Mblidh 540I_{1} me -540I_{1}. Shprehjet 540I_{1} dhe -540I_{1} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$400I_{2}-945I_{2}=-100+270$$

Mblidh 400I_{2} me -945I_{2}.

$$-545I_{2}=-100+270$$

Mblidh -100 me 270.

$$-545I_{2}=170$$

Pjesëto të dyja anët me -545.

$$I_{2}=-\frac{34}{109}$$

Zëvendëso I_{2} me -\frac{34}{109} në 20I_{1}+35I_{2}=-10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh I_{1} menjëherë.

$$20I_{1}+35\left(-\frac{34}{109}\right)=-10$$

Shumëzo 35 herë -\frac{34}{109}.

$$20I_{1}-\frac{1190}{109}=-10$$

Mblidh \frac{1190}{109} në të dyja anët e ekuacionit.

$$20I_{1}=\frac{100}{109}$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$I_{1}=\frac{5}{109}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$I_{1}=\frac{5}{109},I_{2}=-\frac{34}{109}$$