Zgjidh {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-4x+5y=24$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4x=-5y+24$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë -5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Zëvendëso x me \frac{5y}{4}-6 në ekuacionin tjetër, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Shumëzo -2 herë \frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Mblidh -\frac{5y}{2} me y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=8$$

Zëvendëso y me 8 në x=\frac{5}{4}y-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Shumëzo \frac{5}{4} herë 8.

$$x=10-6$$

Mblidh -6 me 10.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=8$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=8$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Për ta bërë -4x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Thjeshto.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Zbrit 8x-4y=0 nga 8x-10y=-48 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-10y+4y=-48$$

Mblidh -10y me 4y.

$$-6y=-48$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=8$$

Zëvendëso y me 8 në -2x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x+8=0$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=8$$