Zgjidh {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-3x-y-2x=-1$$

Kombino -3x dhe -2x për të marrë -5x.

$$-5x-y=-1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Kombino -6x dhe -x për të marrë -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$-7x-15y-y=-30$$

Kombino -15y dhe -y për të marrë -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-5x-y=-1$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=y-1$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+1}{5} në ekuacionin tjetër, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

Shumëzo -7 herë \frac{-y+1}{5}.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

Mblidh \frac{7y}{5} me -16y.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

Mblidh \frac{7}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{73}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{143}{73}$$

Zëvendëso y me \frac{143}{73} në x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë \frac{143}{73} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

Mblidh \frac{1}{5} me -\frac{143}{365} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-3x-y-2x=-1$$

Kombino -3x dhe -2x për të marrë -5x.

$$-5x-y=-1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Kombino -6x dhe -x për të marrë -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$-7x-15y-y=-30$$

Kombino -15y dhe -y për të marrë -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-3x-y-2x=-1$$

Kombino -3x dhe -2x për të marrë -5x.

$$-5x-y=-1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Kombino -6x dhe -x për të marrë -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$-7x-15y-y=-30$$

Kombino -15y dhe -y për të marrë -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Për ta bërë -5x të barabartë me -7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

Thjeshto.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

Zbrit 35x+80y=150 nga 35x+7y=7 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

Mblidh 35x me -35x. Shprehjet 35x dhe -35x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$7y-80y=7-150$$

Mblidh 7y me -80y.

$$-73y=7-150$$

Mblidh 7 me -150.

$$-73y=-143$$

Pjesëto të dyja anët me -73.

$$y=\frac{143}{73}$$

Zëvendëso y me \frac{143}{73} në -7x-16y=-30. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

Shumëzo -16 herë \frac{143}{73}.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

Mblidh \frac{2288}{73} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$